常用泰勒级数

\[ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots (-1 < x < 1) \] \[ e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots \frac{1}{n!}x^n + \cdots (-\infty < x < +\infty) \]

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + \cdots (-\infty < x < +\infty) \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots (-\infty < x < +\infty) \]

\[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + \cdots (-1 < x \leq 1) \]

\[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{2n - 1} + \cdots (-1 \leq x \leq 1) \]

\[ (1 + x)^m = 1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{m(m - 1) \cdot \cdots \cdot (m - n + 1)}{n!}x^n \]

其中 \(m\) 非自然数. 成立范围与 \(m\) 取值有关

当 \(m \leq -1\) 时, 收敛域 \((-1,1)\) ; 当 \(-1 < m < 0\) 时, 收敛域 \((-1,1]\) ; 当 \(m > 0\) 收敛域 \([-1,1]\).